Naukowe modele przestrzeni

… czyli z motyką na słońce

     Czym jest przestrzeń? Jest tylko jednym z parametrów służących do opisu naszego otoczenia. Nauką zajmującą się przestrzenią jest geometria (gr. γεωμετρία; geo – ziemia, metria – miara). Podstawowymi elementami geometrii są:
• punkt – nie ma długości, szerokości ani głębokości,
• prosta – ma tylko długość, nie ma szerokości, ani głębokości,
• płaszczyzna – ma długość i szerokość, ale nie ma głębokości,
• przestrzeń – ma długość, szerokość i głębokość.
W obrębie każdego z podstawowych elementów są sub-elementy:
• w domenie „prostej” jest to odcinek, półprosta, linie krzywe,
• w domenie „płaszczyzny” są to figury,
• w domenie „przestrzeni” – bryły.

    Geometria to uproszczony obraz kształtów, które postrzegamy z naszej ziemskiej perspektywy i pierwotnie służyła do pomiarów odległości postrzeganych z perspektywy Ziemi tj. zarówno oznaczania ziemi uprawnej, także odległości między osadami, jak i dla oznaczenia położenia gwiazd na niebie. Używając jednak dzisiejszego języka geometria bada niezmienniki dla wybranych przekształceń np. co nie zmienia się w takich tworach jak odległość, pole powierzchni, krzywizna czy wymiar jeśli będziemy je przesuwać, obracać, wyginać rozciągać, ściskać itp. czyli w określony sposób przekształcać, które to przekształcenie jest w jakiś sposób uporządkowane (może być opisane funkcją). Albert Einstein (1879-1955) wykazał, że istnieje wiele możliwych geometrii, które mogą opisywać nasze otoczenie. Wszystkie wyprowadzone są z czterech postulatów (od każdego punktu do każdego punktu poprowadzić można prostą; ograniczoną prostą można w sposób ciągły przedłużać wzdłuż prostej; z każdego środka każdą rozwartością można opisać koło; wszystkie kąty proste są sobie równe).

    Prostota i przejrzystość elementów składowych geometrii powoduje, że „wielu fizyków odurzonych potęgą teorii matematycznych twierdzi, że Bóg jest geometrą”. Naukowcy dopracowali się jednak tylko trzech stosunkowo prostych rodzajów geometrii różniących się wyłącznie stosunkiem do tzw. piątego postulatu Euklidesa (ok.365 p.n.e.- ok.300 p.n.e.); są to geometrie:

euklidesowa, w której nasze otoczenie jest nieskończone i nieograniczone: „Przez dowolny punkt nie leżący na danej prostej przechodzi jedna i tylko jedna prosta nie mająca wspólnych punktów z tą prostą” – linie równoległe nigdy się nie przecinają, (suma kątów w trójkątach wynosi 180º, obwód okręgu wynosi 2πr; wszechświat jest nieskończony);

.

hiperboliczna, otwarta (zwana także geometrią siodła, geometrią Łobaczewskiego lub geometrią Bolyaia-Łobaczewskiego), która jest szczególnym przypadkiem geometrii Riemanna o stałej i ujemnej krzywiźnie: „Przez dowolny punkt nie leżący na danej prostej przechodzą co najmniej dwie różne proste nie mające wspólnych punktów z tą prostą” – linie równoległe rozbiegają się, (sumy kątów w trójkątach są mniejsze niż 180°, obwód okręgu jest większy niż 2πr; wszechświat jest nieskończony). Geometria hiperboliczna, w odróżnieniu od eliptycznej, miała długa historię; jej początki sięgają Menelaosa z Aleksandrii (ok. I w. n.e.) prac perskiego matematyka i erudyty Omara Khayyama (1048-1131), a następnie wydanego w Europie dzieła z 1733 r. Euclides ab omni naevo vindicatus napisanego przez włoskiego jezuitę i matematyka Giovanniego Girolamo Saccheriego (1667-1733), potem także prac Johanna Heinricha Lamberta (1728-1777), Carla Friedricha Gaussa (1777-1855), który jednak ze strachu swojej pracy nie opublikował, Nikołaja Iwanowicza Łobaczewskiego (1792-1856), praca z ok. 1826 r., oraz Jánosa Bolyaia (1802-1860), praca z 1829 r.

eliptyczna, zamknięta (zwana także geometrią sferyczną lub geometrią powierzchni kuli), która jest szczególnym przypadkiem geometrii Riemanna dla stałej i dodatniej krzywizny: „Przez dowolny punkt nie leżący na danej prostej nie przechodzi ani jedna prosta nie mająca wspólnych punktów z tą prostą” - linie równoległe przecinają się, (suma kątów w trójkącie może dochodzić do 540°, obwód okręgu jest mniejszy niż 2πr; wszechświat jest skończony).

Możliwe modele geometrii

    Czy gdyby zmienić którykolwiek z czterech pierwszych postulatów to powstała w ten sposób geometria byłaby mniej prawdziwa albo mniej użyteczna w opisie naszego otoczenia? Czy aby na pewno dwa dowolne punkty w przestrzeni można połączyć prostą? Czy każda prosta jest nieograniczona? Czy aby z każdego środka każdą rozwartością można opisać koło i czy wszystkie kąty proste są sobie równe? Czy cały wszechświat jest na tyle jednorodny, że sformułowane w jednym jego miejscu twierdzenia będą obowiązywać w każdym innym? Czy wszechświat pozbawiony jest osobliwości, które będą łamać aksjomaty geometryczne?

    Geometrie nieeuklidesowe powstały właściwie dopiero w XIX wieku na społeczne zapotrzebowanie środowisk naukowych – słaby, chorowity i nieśmiały Bernhard Riemann (1826-1866) opracował cykl wykładów o podstawach geometrii nieeuklidesowych na zlecenie swojego nauczyciela sławnego uczonego zwanego przez jemu współczesnych „księciem matematyków”, profesora uniwersytetu w Getyndze Karla Friedricha Gaussa (1777-1855);  co ciekawe, kiedy Riemann przystępował do tej pracy nie miał o jej przedmiocie zielonego pojęcia. Dopiero w 1882 r. profesor Uniwersytetu w Giessen, Moritz Pasch (1843-1930) stwierdził, że podane przez Euklidesa aksjomaty są niewystarczające do zbudowania istniejącej geometrii i uzupełnił ją o tzw. aksjomat Pascha: prosta na płaszczyźnie, która nie przechodzi przez żaden z wierzchołków trójkąta i przecina jeden jego bok, przecina jeszcze drugi;  geometria zatem przez ponad dwa tysiące lat doskonale funkcjonowała pomimo, że nie znaliśmy jej podstaw!!! Ostatecznie dopiero w 1899 r. pełny zestaw aksjomatów geometrii euklidesowej podał  jeden z dwóch najsłynniejszych matematyków aktywnych zawodowo na początku XX wieku profesor uniwersytetu w Getyndze David Hilbert (1862-1943) (drugim był Henri Poincare (1854-1912)).

    Z czasem powstały także geometrie cząstkowe obejmujące wybrane spektra szeroko rozumianej geometrii (różniczkowa, wykreślna, rzutowa, afiniczna, algebraiczna) oraz ukształtowała się nowa szersza od geometrii dziedzina nauki – topologia, której przedmiotem badań są te własności figur geometrycznych i brył, które nie ulegają zmianie nawet po radykalnym zdeformowaniu tych figur.

    Naukowcy dopracowali się też wielu różnorodnych modeli, które pozwalałyby zobrazować poszczególne rodzaje geometrii. Są to jednak stosunkowo proste rozważania – wszystkie geometrie są, niestety, statyczne i jednorodne. Żaden z modeli nie zawiera elementów zmienności (np. ruchu) całości ani nawet wybranych fragmentów modelu, innymi słowy otoczenie, które opisuje geometria jest w każdym punkcie statyczne i jednorodne, a przez to bardzo ubogie. Element zmienności w modelu spowodowałby rewolucję w naszym postrzeganiu przestrzeni – zachowywałaby się ona w sposób zróżnicowany w zależności od parametrów miejsca i czasu np. warunki odpowiadające gwieździe Alfa Centauri implikowałyby inne prawa niż warunki na Gwieździe Polarnej, którą aktualnie jest najjaśniejsza gwiazda Małej Niedźwiedzicy. Taka różnorodność byłaby jednak w pełni usprawiedliwiona! Nasze obecne geometryczne wyobrażenie przestrzeni jest tak doskonale proste i naiwne jak porównując: konstrukcja cepa w zestawieniu z połączoną konstrukcją kombajnu, młyna, piekarni i cukierni. Pierwszy z tych modeli, składający się z dwóch drągów połączonych rzemieniem, pozwala przy dużym nakładzie siły wyłuskiwać ziarno z kłosów, drugi obejmuje proces od zebrania ziarna do wypieku np. tortu. My, w naszym postrzeganiu otoczenia, w szczególności przestrzeni i czasu, posługujemy się jeszcze prymitywnym cepem. Posługujemy się pojęciami i wyobrażeniem świata, które stworzyliśmy w naszym bardzo specyficznym środowisku we Wszechświecie, odznaczającym się niewielkimi prędkościami i niskim poziomem energii, i zakładamy, że cały Wszechświat musi być taki sam. Jesteśmy jak mrówki, które zbudowały sobie niewielki kopczyk i na tej podstawie zbudowały sobie wyobrażenie o całym otoczeniu; a przecież poza tym mrówczym kopczykiem jest jeszcze łączka, na której on leży i las, który ją otacza, i rzeka, o której istnieniu nie mają mrówki pojęcia; dalej są hałdy z kopalni węgla kamiennego, autostrada i fabryka, w której produkuje się meble; jeszcze dalej są przedmieścia wielkiego miasta, a za nimi gęstniejąca sieć dróg, na których panuje ogromny ruch aut, szczególnie w godzinach szczytu; tysiące takich miast, miasteczek i wsi składa się na państwo, które ma właściwy sobie porządek, swoją policję i swoje wojsko; jeszcze dalej przebiega linia morskiego wybrzeża, jedno morze graniczy z drugim, a one oba razem tworzą ocean – wody jest w sumie trzy razy więcej niż lądów – prawdopodobnie mrówki nigdy nie poznają zawartości mórz i nie zejdą do dna oceanicznych głębin, żeby poznać panujące tam warunki; Ziemia jest kulą otoczoną powłoką gazową – mrówki cokolwiek o tym gazie wiedzą, bo przecież rozmnażają się na wysokości około 600 m, ale przecież troposfera sięga nawet do 18 km nad równikiem, wyżej leżą, całkowicie niedostępne dla mrówek, stratosfera, mezosfera, termosfera i egzosfera; Ziemię okrąża Księżyc, a te dwa ciała razem krążąc wokół Słońca są maleńkim fragmentem Układu Słonecznego; sto, a może dwieście miliardów gwiazd składa się na galaktykę Drogi Mlecznej, a takich galaktyk jest we Wszechświecie może sto, a może dwieście miliardów; a takich Wszechświatów stale na nowo powstających jest nieskończenie wiele. Bardzo wiele, z pozoru mało znaczących zjawisk, które mogą wziąć swój początek w miejscach oddalonych o lata świetlne od Ziemi może zadecydować o losie mrowiska i przeżyciu mrówek. Mrówki jednak nigdy nie zgłębią ani tych otchłani ani tych złożoności otoczenia …