Rozumowanie jako system operacyjny

… czyli nieważne jak rozumujesz, ważne abyś to robił w sposób konsekwentny

    W powszechnym przekonaniu człowiek tym różni się od zwierzęcia, że myśli. A do tego myśli logicznie. Logicznie znaczy mądrze, prawdziwie. Natomiast emocje nie różnią nas specjalnie od zwierząt, bo te zwierzęta, które umieściliśmy stosunkowo blisko nas na drzewie ewolucyjnym, też odczuwają ból, radość, smutek, trwogę etc.  Mamy, oczywiście, szerszy od zwierząt wachlarz wyrażania emocji, ale emocje nie różnią nas zasadniczo od innych zwierząt. Inaczej ma się rzecz z myśleniem, szczególnie abstrakcyjnym. Abstrakcyjnym, czyli takim, które stanowi o rzeczach istniejących tylko w naszych głowach.

    Abstrakcja jest tylko modelem otoczenia. Myślenie abstrakcyjne ma charakter pojęciowy. Pojęcia są w naszych głowach, ale nie ma ich w postrzeganym przez nas otoczeniu. Ani pies, ani słoń, ani orangutan nie potrafią zrozumieć co to jest „niebieski”, „prawo”, „siedem”, „cierpliwość”, „zakrzywiony” etc. Zwierzęta potrafią z nami współodczuwać, ale nie potrafią zrozumieć. Zwierzęta także myślą, gdyż potrafią przewidywać zachowania otoczenia. Ale pojęcia są właściwe tylko człowiekowi. Żadne zwierzę pojęć-abstraktów nie przyswaja w sposób właściwy człowiekowi.

    Pojęcia-abstrakty istnieją tylko w naszych głowach. Wykonujemy na nich różne operacje – mieszamy je i budujemy różniste twory. Gdyby zachodziła zupełna dowolność postępowania z abstraktami wówczas ilość powstałych z nich tworów byłaby nieograniczona. Wykonujemy jednak na nich tylko ograniczoną ilość działań. Te działania to zasady logicznego myślenia.

    Wyróżniamy kilkanaście takich zasad logicznego myślenia. Nazywamy je prawami, są to prawa: tożsamości, (nie)sprzeczności, wyłączonego środka, podwójnego przeczenia, Dunsa Szkota, De Morgana, symplifikacji, sylogizmu hipotetycznego, eksportacji, importacji, komutacji, dylematu, pochłaniania, rozdzielności (alternatywy względem koniunkcji, koniunkcji względem alternatywy, kwantyfikatora ogólnego względem implikacji, kwantyfikatora szczegółowego względem implikacji). Każdą z zasad możemy zapisać zarówno w postaci literowej za użyciem wyrazów jak i za pomocą znaków umownych.

   Przykładowo „prawo wyłączonego środka” mówi, że dla dowolnego zdania albo ono samo jest prawdziwe, albo prawdziwe jest jego zaprzeczenie.

Treść tej zasady zapisujemy za pomocą znaków umownych w postaci:

   Istnieją jednak systemy logiczne, w których to prawo nie ma zastosowania, na przykład logika intuicjonistyczna, logika rozmyta (Lotfi Zadeh), logika modalna, logika dodatkowych wartości logicznych (Emila Posta), logika Gödla, wielowartościowe logiki Jana Łukasiewicza, logiki epistemiczne, logiki temporalne, logiki deontyczne, logiki indyjskich systemów filozoficznych, np. Nagarjuna etc.

   Jakkolwiek nazwy tych systemów logicznych brzmią dla naszych uszu nieco obco to znajdują one praktyczne zastosowanie np. logika rozmyta – w elektronicznych systemach sterowania (maszynami, pojazdami i automatami), zadaniach eksploracji danych, także w budowie systemów ekspertowych; logika modalna – w fizyce i informatyce etc. A to oznacza, że także inne logiki, odmienne od klasycznej, mogą być skuteczne w opisywaniu zachowań naszego otoczenia. A zatem wniosek, który wynika z zastosowania logiki klasycznej może być różny od obserwowanych przez nas zachowań otoczenia i dlatego stosujemy różne logiki nieklasyczne. Rzeczywistość bywa nielogiczna.

Indukcja i dedukcja

    W potocznym i naukowym rozumowaniu stosujemy mechanizmy indukcji i dedukcji. Można je obrazowo przedstawić za pomocą dwóch poniższych zdań.

● „Jeśli za każdym ze stu razy upuszczony przez nas przedmiot spada na ziemię to i za sto pierwszym razem też tak będzie”.

● „Jeśli w oborze były dwie krowy, a potem jedna z nich wyszła to na pewno jedna krowa w tej oborze pozostała”.

   Pierwsze zdanie opiera się na powtarzalności zdarzeń. Jeśli jakieś zdarzenie nastąpiło dostatecznie dużą ilość (n) razy to znaczy, że nastąpi także kolejny (n+1) raz. Jeżeli w przeciętnych warunkach woda przy każdym dajmy na to z dwustu powtórzeń wrzała w temperaturze sto stopni Celsjusza to będzie wrzała w tej temperaturze za dwieście pierwszym powtórzeniem tego doświadczenia. Ten sposób rozumowania nazywamy indukcją.

   Drugie z tych zdań jest przykładem rozumowania dedukcyjnego. Wiadomo: 2-1=1. To samo zdanie możemy wypowiedzieć o dowolnej licznie dowolnych przedmiotów. Za każdym razem jesteśmy w stanie przewidzieć rezultat. Na tym polega dedukcja.

    Dedukcja i indukcja to dwa filary rozumowania logicznego. Za pomocą logicznego rozumowania orzekamy o prawdziwości twierdzeń. Siła logicznego rozumowania polega na tym, że na podstawie określonych przesłanek dojdziemy do tych samych wniosków niezależnie od tego  kto te wnioski będzie formułował.

Indukcja

    „Jeżeli ze szklanki napełnionej wodą wylejemy połowę jej zawartości to ciężar szklanki z wodą przed wylaniem będzie większy niż po wylaniu wody”. Taki wynik otrzymywaliśmy  przy stu ważeniach dotychczas wykonanych, więc i za każdym kolejnym razem też tak będzie (indukcja). Jednakowy wniosek wyprowadzą i profesor Kowalski, i hydraulik Nowak, i emerytka pani Basia, i uczęszczający do przedszkola syn sąsiadów.

   Im więcej razy jakieś zjawisko zachodziło tym większa będzie nasza pewność w formułowaniu wniosków co do kolejnego jego wystąpienia. Jeśli określonego pomiaru dokonywaliśmy sto razy to raczej pewni będziemy wyników sto pierwszego pomiaru. Ale jeśli pomiar wykonywaliśmy już milion razy otrzymując za każdym razem ten sam wynik to wynik milion pierwszego pomiaru będzie tak oczywisty, że z dużym prawdopodobieństwem nawet go nie wykonamy z góry przewidując rezultat.

    Szersza obserwacja zjawiska prowadzi jednak do wniosków odwrotnych niż te intuicyjnie przez nas wyprowadzane. We Wszechświecie czyli szeroko rozumianym otoczeniu nie ma rzeczy wiecznych. Każde zjawisko ma swój początek i koniec. Stale coś powstaje i coś istnieć przestaje. Nawet Słońce, które co dnia oznajmia nam nadejście świtu.  Z indukcji wynika, że jeżeli wzeszło ono nad ziemskim horyzontem już około 2 mln razy (tyle mniej więcej razy Ziemia obróciła się wokół osi od czasu wynalezienia przez człowieka pisma czyli za naszej pamięci) to powinno pojawić się na horyzoncie za każdym kolejnym obrotem Ziemi. A więc z każdym kolejnym dniem prawdopodobieństwo nastąpienia kolejnego świtu jest coraz większe. Z drugiej strony, nawet Słońce kiedyś przestanie istnieć. Każdy kolejny dzień przybliża nas do jego nieuchronnego końca. Z tego punktu widzenia prawdopodobieństwo następowania kolejnych wschodów Słońca jest coraz mniejsze.

    To spostrzeżenie możemy rozciągnąć na każde inne zjawisko. To, że w przeciętnych warunkach za każdym ze stu tysięcy  wykonanych pomiarów woda wrzała w temperaturze stu stopni Celsjusza nie musi wcale oznaczać, że tak samo będzie za sto tysięcy pierwszym razem. A nawet postawiłbym tezę, że analogicznie do wschodzącego co dnia Słońca, prawdopodobieństwo powtórzenia tego wyniku maleje. Może więc jutro woda zacznie wrzeć w temperaturze odbiegającej znacznie od stu stopni Celsjusza? Patrząc z szerszej perspektywy, na przykład kosmosu, prawdopodobieństwo takiego zdarzenia jest coraz większe.

   Czy zatem indukcja może być miarodajnym sposobem przewidywania zdarzeń? Czy każde napotkane we Wszechświecie inteligentne stworzenie będzie wyprowadzać pewność wystąpienia zdarzenia  „n+1” raz jeśli wcześniej zaszło ono „n” razy, skoro wynik zależny jest od kontekstu spojrzenia? Jeśli zjawisko wystąpiło dostatecznie dużą ilość „n” razy tym mniejsze prawdopodobieństwo jego wystąpienia „n+1″ raz. Innymi słowy, im bardziej jesteśmy do występowania zjawiska przyzwyczajeni tym mniejsze prawdopodobieństwo jego kolejnego wystąpienia. Im bardziej wydaje Ci się coś naturalne, bo występuje „od zawsze” tym bardziej jest mniej prawdopodobne, że to zjawisko powtórzy się kolejny raz. Przykładowo, jeśli upuszczone jabłko spada na ziemię to z każdym kolejnym jego upuszczeniem prawdopodobieństwo jego upadnięcia na ziemię maleje. Bo wszystkie zjawiska i rzeczy trwają tylko określony czas, grawitacja także.

Dedukcja

    Przytoczone powyżej prawa logiki klasycznej (tożsamości, (nie)sprzeczności, wyłączonego środka, podwójnego przeczenia, Dunsa Szkota, De Morgana etc) są elementami systemu dedukcyjnego. W oparciu o obserwację zachowań naszego otoczenia budujemy model pojęciowy, wykonujemy na nim operacje zgodne z prawami logiki, a następnie wynik przenosimy na przewidywane zachowania otoczenia. Co jednak zrobić kiedy niektóre zachowania są inne od pozostałych? Co sądzisz o poniższych zachowaniach?

  1. Obiekty mogą powstawać z niczego.
  2. Ten sam obiekt może być w wielu miejscach jednocześnie i wykonywać różne rzeczy.
  3. Obiekt obserwowany nie wykazuje tych samych właściwości jakie wykazywałby nie będąc obserwowanym.
  4. Obiekty w rzeczywistości nie mają żadnych określonych atrybutów i dopiero pomiar je pokazuje.
  5. Niektóre obiekty komunikują się w sposób natychmiastowy bez względu na odległość, nawet jeśli znajdują się akurat na przeciwległych krańcach wszechświata.
  6. Nie istnieje mechanizm przyczynowo-skutkowy, zachowanie obiektów można przewidzieć tylko z pewnym prawdopodobieństwem.
  7. Nie można równocześnie wyznaczyć położenia i prędkości obiektu.
  8. Niektóre ciecze mają zdolność płynięcia pod górę.

    Powyższe zachowania są właściwe dla świata cząstek elementarnych i fizyki kwantowej. Pomimo, że zapoczątkowana została już w 1925 r. pracami noblisty (1932 r.) Wernera Heisenberga (1901-1976) i noblisty (1933 r.) Erwina Schrödingera (1887-1961), a obecnie uważana jest za paradygmat w fizyce i chemii to przez wielu określana jest po dziś dzień jako herezja.

    Powyższe zdania nie tylko zaprzeczają naszym codziennym obserwacjom, ale także zasadom logicznego (w sensie klasycznym) rozumowania, kwestionują podstawę naszej piramidy przekonań i powodują, że cała jej konstrukcja się wali. To tak jakby twierdzić, że po wyjęciu jednej kuli z pudełka, w którym znajdowały się uprzednio dwie kule, we środku pozostały jeszcze cztery kule! A przecież powyższe twierdzenia mają podstawowe znaczenie w mechanice kwantowej! Zresztą, o jakim realnym porządku możemy mówić jeśli Heisenberg twierdził, że „to, czy obliczonej minionej historii elektronu mielibyśmy przypisywać fizyczną realność, jest wyłącznie kwestią upodobania”. Zasady rządzące w mechanice kwantowej, stanowią całkowite zaprzeczenie zarówno fizyki klasycznej jak i teorii względności. „Kwantowa teoria jest tak trudna, że nikt tak naprawdę w nią nie wierzył przez 25 lat”.

    Żeby teorie makro- i mikrofizyki mogły współistnieć w latach 1930-1955 powstała kopenhaska interpretacja świata stworzona przez „ojca mechaniki kwantowej” Nielsa Bohra (1885-1962), Żyda, wspierana przez Wernera Heisenberga (1901-1976), Wolfganga Pauliego (1900-1958), Żyda, Paula Diraca (1902-1984) i Maxa Borna (1882-1970), Żyda. Postulowała ona aby podzielić wszechświat na dwie domeny (małych i dużych obiektów), w których obowiązywałyby diametralnie różne porządki – chociaż obecnie większość fizyków skłania się ku poglądowi, że obowiązującym powinien być wyłącznie porządek wynikający z domeny małych obiektów czyli fizyki kwantowej.

 A zatem w naszym otoczeniu znajdują się dwa różne światy (małych i dużych obiektów), a w każdym z nich jest inny porządek logiczny. Może z czasem odkryjemy więcej światów, a w każdym z nich będzie inny porządek? Inne światy to inne układy odniesienia, w których zjawiska zachodzą, zaś niekoniecznie rzeczywistości wyodrębnione fizycznie. W naszym bezpośrednim otoczeniu fizycznym może występować równolegle wiele układów odniesienia. Te światy (układy odniesienia) mogą się nawet wzajemnie przenikać (pokrywać) czego dobrym przykładem  jest chociażby zastosowanie zasad logiki rozmytej w elektronicznych systemach sterowania (maszynami, pojazdami i automatami), zadaniach eksploracji danych oraz w budowie systemów ekspertowych, a logiki modalnej – w fizyce i informatyce.

    Matematyka nie jest nauką, w tym sensie, że nie nabywamy przez jej studiowanie żadnych informacji o naszym otoczeniu. Matematyka tworzy modele naszego otoczenia. A zatem matematyka spełnia rolę systemu dedukcyjnego, jednego z wielu możliwych. W zależności od tego jakie przyjmiemy w nim aksjomaty i jak zdefiniujemy działania takie otrzymamy wyniki.

● Przykładowo geometria przedstawia modele przestrzeni. Przez dwadzieścia trzy wieki był tylko jeden model – euklidesowy. W XIX wieku powstały dwa następne: geometria Bolyaia – Łobaczewskiego (hiperboliczna) i geometria Riemanna (eliptyczna). Przedstawia się je zwyczajowo: hiperboliczną – z użyciem czterech modeli (Kleina, Minkowskiego i dwóch modeli Poincaré), eliptyczną – modelem sferycznym. Obie te geometrie powstały w wyniku zakwestionowania jednego z pięciu pewników geometrii euklidesowej  t.j. pewnika o prostych równoległych: „Przez dowolny punkt nieleżący na danej prostej przechodzi tylko jedna prosta nie mająca wspólnych punktów z tą prostą„. W geometrii Bolyaia – Łobaczewskiego przechodzą przez dowolny punkt nieleżący na danej prostej co najmniej dwie różne proste nie mające wspólnych punktów z tą prostą, w geometrii Riemanna – nie przechodzi żadna prosta. Czy geometrie nieeuklidesowe mają jakieś znaczenie praktyczne? Ależ oczywiście, oparta jest na nich rewolucyjna teoria względności Alberta Einsteina (1879-1955), uznawanego obok Isaaca Newtona za największego uczonego wszechczasów.

    Ale przecież podważyć można także każdy z czterech pozostałych postulatów. Można także wprowadzić dodatkowe parametry, na przykład – ruch. Ilość możliwych kombinacji różnych modeli geometrycznych naszego otoczenia jest nielimitowana, może ich być dowolnie dużo. I każdy może opisywać nasze otoczenie.

● Przykładowo arytmetyka opisuje działania na liczbach. Każdy z nas wie intuicyjnie na czym polega mnożenie i w zakresie „do stu” potrafi, zazwyczaj bezbłędnie, podać jego wynik. Wydaje się oczywistością, że 5*7=7*5=35. Wystarczy w tym celu wybrać ziemniaki z koszyka i ustawić je w pięciu kolumnach i siedmiu szeregach (lub odwrotnie). A potem jeszcze zliczyć je wszystkie. Nic jednak bardziej mylnego.  Zarówno mnożenie jak i liczby mają charakter abstrakcyjny, a więc są obecne tylko w naszych głowach.  Istotnymi, wynikającymi z definicji, cechami mnożenia są: łączność i rozdzielność. Natomiast mnożenie, znowu z definicji, nie musi być przemienne, nie musi mieć elementu neutralnego (czyli jedynki),  może też mieć dzielniki zera, czyli takie liczby niezerowe a i b, że a*b=0.

    Jeśli mnożenie nie jest przemienne z definicji to powstały liczby Grassmanna o takiej właściwości, że jeśli a i b są liczbami Grassmanna, to  a * b =  ̶  b * a. Zapis ten oddaje jedną z podstawowych zasad teorii supersymetrii, która jest jedną z fundamentalnych teorii fizyki cząstek elementarnych. A niektórzy, jak na przykład laureat Nagrody Nobla (1979 r.) Abdus Salam (1926-1996) określają supersymetrię jako „ostateczną propozycję całkowitej unifikacji wszystkich cząstek„. W supersymetrii zachodzi jeszcze inna zależność, mianowicie a * a = 0 nawet jeśli a ≠ 0, co także nie pozostaje w sprzeczności z definicją mnożenia.

    Podobnie jak prawa logiki tak i zapisy liczbowe czyli działania na liczbach mogą dawać różne wyniki w zależności od tego do czego się odnoszą. W uproszczeniu, jeden i ten sam zapis będzie prawdziwy w odniesieniu do ziemniaków, ale zupełnie fałszywy w przypadku jabłek, o ile będą znajdować się w innych układach odniesienia (innych światach).

Przedstawiając to obrazowo dla ziemniaków może być poprawną równość: 3 + 2 = 4,

a dla jabłek: 1 + 3 = 7.

Wnioski:

    Indukcja wskazuje, że im dłużej zjawisko trwa tym większe prawdopodobieństwo jego zakończenia. Im bardziej do jakiegoś zjawiska jesteś przyzwyczajony tym mniej bądź przekonany o jego kolejnym powtórzeniu. Im bardziej coś jest naturalne tym szybciej naturalnym być przestanie.

    Dedukcja jest jak sieć, którą my rybacy zarzucamy licząc na obfity połów. Jeśli zarzucimy drobną sieć to złapiemy tylko małe rybki, jeśli grubą sieć to ryby rozmiarowo znacznie większe. Ale jeśli polujemy na rekiny lub płetwale to musimy użyć całkiem innych technik. Rodzaj stosowanej techniki determinuje wynik połowu.

    Dedukcja wskazuje, że nie ma jednej uniwersalnej logiki i każdy dowolny sposób rozumowania może znaleźć zastosowanie w jakimś układzie odniesienia. Układ odniesienia może być innym światem, ale może też dotyczyć tylko grupy zjawisk w obrębie jednego świata lub kontekstu spojrzenia. Każdy dowolny sposób rozumowania prowadzi do użytecznych konkluzji. Najważniejsze jest aby był stosowany przez społeczność konsekwentnie.